深入理解计算机系统-第2章信息的表示和处理

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摘要

关于程序的结构和执行,我们需要考虑机器指令如何操作整数和实数数据,以及编译器如何将 C 程序翻译成这样的指令。


关于程序的结构和执行,我们需要考虑机器指令如何操作整数和实数数据,以及编译器如何将 C 程序翻译成这样的指令。

现代计算机存储和处理信息是用二进制(二值信号)表示的,因为二值信号更容易表示、存储和传输,如导线上的高电压和低电压。

1,信息存储

大多数计算机使用字节(byte),作为最小的可寻址的内存单位,而不是访问内存中单独的位。机器级程序将内存视为一个非常大的字节数组,称为虚拟内存virtual memory),内存中的每个字节都由一个唯一的数字来表示,称为它的地址(address),所有可能地址的集合称为虚拟地址空间virtual address space)。简而言之,这个虚拟地址空间只是一个展现给机器级程序的概念性映像,实际的实现是将动态随机访问存储器(DRAM)、闪存、磁盘存储器、特殊硬件和操作系统软件结合起来,为程序提供一个看上去统一的字节数组。

1.1,十六进制表示法

一个字节由 8 位组成,在二进制表示法中,它的值域是 (00000000_2sim 11111111_{2}),如果看成十进制整数,它的值域则是 (0_{10}sim 255_{10})。在 C 语言中,以 0x 或 0X 开头的数字常量被认为是十六进制的值。

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1.2,字数据大小

每台计算机都有一个字长(word size),说明指针数据的标称大小(nominal size),字长决定的最重要的系统参数就是虚拟地址空间的最大大小,即对于一个字长(w)位的机器而言,虚拟地址的范围为 (0sim 2^{w}-1),程序最多访问 (2^{w})个字节。

1.3,寻址和字节顺序

对于跨越多个字节的程序对象,我们必须建立两个规则: 这个对象的地址是什么,以及内存中如何排列这些字节。对象的存储有两个通用的规则:

  • 小端法(little endian),最低有效字节在最前面的方式。
  • 大端法(big endian),最高有效字节在最前面的方式。

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4,浮点数

IEEE 754 标准同来表示计算机系统中的浮点数定义,即浮点数规则都遵从 IEEE 754 标准。

4.1,二进制小数

理解浮点数的第一步是考虑含有小数值的二进制数字,其表示方法如下:

[b = sum_{i=-n}^{m} 2^{i} times b_{i} ]

符号 . 现在变成了二进制的点,点左边的位的权是 2 的正幂,点右边的位的权是 2 的负幂。小数的二进制幂表示如下图所示。

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4.2,IEEE 浮点表示

定点表示法不能有效地表示非常大的数字。IEEE 标准 754,浮点表示用 (V = (-1)^s times M times 2^E)表示一个数:

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在 IEEE 754 标准中浮点数由三部分组成:符号位(sign bit),有偏指数(biased exponent),小数(fraction)。浮点数分为两种,单精度浮点数(single precision)和双精度浮点数(double precision),它们两个所占的位数不同。

  • 在单精度浮点格式(C 语言的 float)中,符号位,8 位指数,23 位有效数。
  • 在双精度浮点格式(C 语言的 double)中,符号位,11 位指数,52 位有效数。

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给定位表示,根据 exp 的值,被编码的浮点数可以分成三种不同的情况(最后一种有两个变种)。图2-33说明了对单精度格式的情况。

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规格化的值产生的指数的取值范围,对于单精度是 -126~127,而对于双精度是 -1022~1023

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4.3,浮点数的规格化

若不对浮点数的表示作出明确规定,同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如 ((1.75)_{10})可以表示成 (1.11times 2^0)(0.111times 2^1)(0.0111times 2^2)等多种形式。当尾数不为 0 时,尾数域的最高有效位为 1,这称为浮点数的规格化。否则,以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法,使其成为规格化数的形式。

1,单精度浮点数真值

对于浮点数的规格化的值,其指数的偏差 Bias 是其可能值的一半: (2^{k-1}-1)(单精度是127,双精度是 1023)。 也就是说,用存储的指数减去此偏差就得到了实际指数。 如果存储的指数小于此偏差,则实际为负指数。

IEEE754 标准中,一个规格化的 32 位浮点数 (x) 的真值表示为:

[x = (-1)^{S}times (1.M)times 2^{e}, e = E-127, ein [-126, 127] ]

其中尾数域值是 1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是 1,所以这一位不予存储,默认其隐藏在小数点的左边。在计算指数 e 时,对阶码 E 的计算采用原码的计算方式,因此 32 位浮点数的 8 bits 的阶码 E 的取值范围是 0 到 255。其中当 E 为全 0 或者全 1 时,是 IEEE754 规定的特殊情况。去除 0 和 255 这两种特殊情况,那么指数 (e) 的取值范围就是 (1-127=-126)(254-127=127)

因为 (2^{127}) 大约等于 (10^{38}),所以单精度的实际极限为 (10^{38}) ((e^{38}))。

2,双精度浮点数真值

64 位的浮点数中符号为 1 位,阶码域为 11 位,尾数域为 52 位,指数偏移值是 1023(指数偏差)。因此规格化的 64 位浮点数 x 的真值是:

[x = (-1)^{S}times (1.M)times 2^{e}, e = E-1023, ein [-1022,1023] ]

因为 (2^{1023}) 大约等于 (10^{308}),所以单精度的实际极限为 (10^{308})(e^{308}))。

4.4,数字示例

图 2-34 展示了一组数值,它们可以用假定的 6 位格式来表示,有 (k=3)的阶码位和 (n=2)的尾数位,偏置位是 (2^{3-1}-1 = 3)

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4.5,浮点数的数值范围

下图 2-36 展示了单精度和双精度的浮点数取值范围。

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参考资料